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中科院脑科学博士创立
课程研发｜教学培训｜家庭教育
文 / 大陆博士
斯坦福大学的数学系顾问教授基思德夫林，在他那本很有趣的著作《数学天赋--人人都是数学天才》里，提到过一个惊人的观点：4个月大的婴儿就能计算，猫、狗和鸟类都熟谙数学奥秘。
可能有人会觉得这是“哗众取宠”，只是吸引人眼球的说法，然而实际上，书中也分析了学校教育的不足，其对儿童造成的学习困难，不单纯是在基本的四则运算上，而是在这些计算步骤构建前和后的问题，即实际问题如何被转换成数字问题的过程。
听上去是不是很耳熟？这就是我们经常说的，孩子习得了计算技巧，死记硬背了很多方法，但是从来没有真正理解过：为什么要这样做。
这是一本很有趣的书，我推荐有兴趣的家长可以阅读一下。但同时，对于“不想深究这些问题，只希望有人告诉我如何解决这一困境”的家长来讲，《大陆博士教你数学》系列课程可以解决不同程度小朋友的问题。
我该选择报哪个阶段？
第一阶段数启蒙，可以让一个零基础的孩子，熟练掌握10以内加减法（或者20以内）；
第二阶段运算原理，可以让一个熟练掌握10以内加减法的孩子，达到掌握四则运算以及对应的应用题；
第三阶段奥数预备班，可以让一个日校学习可以轻松应对（怎么样都是中等或偏上吧），对数学兴趣浓厚的孩子，可以达到具备奥数学习的思维模式，掌握举一反三、编写题目、多策略解题、建立心理意象等能力。
虽然我们已经明确给出了三个阶段课程的培养目标，但可能很多家长还是不清楚应该给自己孩子选择哪个阶段，我这里举几个例子：
昨天的那道题目（戳这里?小学二年级数学附加题，附三种解题策略），涉及到的知识点是有余数的除法，看似文字表述上有些拗口，如果小朋友对于除法原理以及余数原理的概念不清晰，而且也不擅长归纳演绎双重逻辑思维，那么解决这道题目就是有难度的。
以这道题目为例，如果孩子能够用自己的方法正确解答此题，那么就可以进入第三阶段奥数预备阶段，因为，无论孩子用什么方法，至少能够在这个多条件的复合性题目中搞清逻辑关系，能够同时考虑三个条件的情况下正确解题，说明孩子可以进阶了。
如果孩子不能自己解决这道题目，那么就需要在第二阶段好好训练四则运算相关的原理，对应的各种题型的应用题，以便从单因素到多因素的题目都能够掌握。这是一个过程，当儿童对概念不能够很熟练掌握的时候，题目一涉及到解决多条件的复合型题目就会较困难，因为每个概念都需要转换一下思维，多了就会乱。所以需要儿童退到单因素阶段，把概念一个个搞清楚，循序渐进加入新的概念，逐步掌握多条件解题的技巧思路。
再然后，如果我们用最原始的策略来解题的过程中，发现孩子对于基础概念，比如整体部分，还不能熟练应用的话，说明孩子不只是数学概念不清晰，更说明孩子在抽象思维层面还没达到这个高度，这种情况往往出现在，刚刚进入一年级，家长以为孩子会做算术就OK了，但实际上儿童还处于具象阶段，不能用纯粹抽象的方式理解数字以及运算，所以，就很难将题目中的情景“翻译”成数学关系。好比，昨日题目中，总共有多少苹果是“整体”，这个整体由两个“部分”构成：一个是9个孩子手里的苹果总数，一个是剩下来的苹果数量。如果孩子对于这一步都不能很好理解，那么真的需要补第一阶段数启蒙了。
一道高阶数学题的n种解法
现在家长可能对一阶段、二阶段有一定概念了，那么三阶段的难度是怎样的呢？有家长很好奇，昨天恰好又有一个家长问了我一道附加题，我一看这道题就笑了，终于有人抛了一道高级阶段的题目给我了。
题目如下
小思考：尚音学校准备栽种12棵风景树，若想栽成6行，每行4棵，且6行树所处位置连成线后组成精美的对称图案。请你试一试。
假如我们不深究“精美的对称图案”需要多么精美，也不管老师的标准是啥，这道题目的答案真的有好多好多种！我相信家长总归能辅导孩子“想”出那么一种两种的。但是，如果这道题目就是靠家长或孩子一点想象力这样凑出来的，那就真的不叫附加题，更不需要什么指导了，没有人能够指导别人的想象力。
这道题有一个关键的隐含条件，需要先推理出来：6行4棵，总共看上去应该24棵，但实际只有12棵，说明有“共用”的，以正方形为例，每个顶点一棵树，可以看成四行树，每行2棵，实际只有4棵，是因为四个顶点各共用了一棵，我们可以表示为：2*4-4=4（棵）.
所以这道题我们可以这样推：6*4-12=12（棵），一共需要有12个共用点。
从这个点开始，我们可以先推理出几种模式：
第一种情况：最简单的情况，如果共用点是两行交叉的，那么一共有12个交叉点。而且图案又是对称的，我们可以把12分解为几种模式：
3+3+3+3（或6+6）；
4+4+4；
看到3和4，我们就可以想到三角形和正方形；
三角形三条边，三个顶点，两个三角形就有6条边，6个顶点。如何变出12个交叉点呢？
当把4棵树画在6条边上，其实很快就能看出，两个等边三角形颠倒交叠就多形成了6个交叉点！
（图A▲）
那么正方形怎么变化呢？正方形已经有四条边，还差两条边，所以我们需要思考的是，再画两条直线与正方形交叉，会多形成8个交叉点，这样可能吗？
你会发现，正方形四条边已经有12棵树了，这时候要两根直线穿过多形成8个交叉点，说明一条线要穿越4个交叉点，是不可能的。但是其实正方形的四条边是可以移动，但不改变顶点和树的数量的，移动之后，再观察，就能看到斜向穿越，每条直线可以多形成4个交叉点，一共就多形成了8个交叉点！
（图B▲）
是不是除了这两种模式，就没有别的模式了呢？
如果根据图B的移动方法，将图A的图形中的“直线”进行移动，但是不改变交叉点数量，会产生什么结果呢？
（图C▲）
上面的方法都基于最初的数理推理“12个交叉点，每个交叉点由两根线交叉形成”，所以每个交叉点都共用了一棵树。那如果每个交叉点不止穿越两根线呢？
（图D▲）
这个图形就是两个正方形连接后，稍微变形了一下的图形。有7条边，每边2棵树的话，原本14棵树，但是由于有4个两根线交叉的点，以及2个三根线交叉的点，所以最后算出来是6棵树。
根据这个原理推，我们来假设有三根线交叉形成一个点，两组加起来就是6根线，其中三根线上都有额外的9个点，9这个数字也是很特别的，可以让你联想到很多，其中也包括“九宫格”，想象它们交叉会是怎样呢？如图，一共有11个交叉点，还少一棵，怎么办？很简单啊，把一个点裂变成两个，不交叉就行了！
（图D▲）
那么如果再移动一下这些直线（它们就像“火柴棍”一样）会怎么样呢？
好，我相信这个思路，已经可以提示家长们继续想下去了。这需要一点点想象力，但肯定不是凑。
这样的思路，不仅仅需要儿童会四则运算，会对应应用题，而且还需要儿童可以归纳抽提问题中隐藏的数学逻辑，以及可以逆向思考，不管是整合、拆分，还是策略迁移，都需要儿童在掌握一定数学策略的基础上，再进一步解构与统合。这就是三阶段。
当然，我们三阶段也并非一上来就做这样的题目，而是循序渐进，诸如这样的题目，也应当从引导儿童发现问题、发现冲突入手，逐步推进思维的深度和灵活性。
现在，相信家长们已经对《大陆博士教你数学》有了进一步的了解了，想知道更多课程奥秘，请加入我们的学习队伍，你只需要每天花20分钟，就可以大大提升你孩子的思维力哦！如果你愿意深入探究一下的话，还有助于你提升孩子其他学科的学习力～
终极选阶段攻略
还是不知道怎么选？最后再补充一个终极选阶段攻略，如下?
会做昨天那道题目的（戳这里?题目及解题策略），进入三阶段；
不会做昨天那道题目的，进入二阶段；
昨天那道题目的第一策略中整体部分搞不清楚的，进入一阶段；
今天这道题目的难度，是三阶段的（不是凑，是有逻辑地推理出的情况）。
一阶段：以具象思维为主，难以进行纯粹抽象思考。所以掰手指计算这种都属于第一阶段。不能灵活进行10以内加减法（包括加减法混合运算），对于应用题涉及到10以内加减法也搞不太清楚的小朋友，都建议上一阶段。
二阶段：可以进行纯粹抽象计算，不需要借助实物或动作，就能够理解加减法混合运算（我的要求只需要10以内即可），二阶段是打通四则运算计算原理，搞清各种题型逻辑关系，循序渐进将四则运算混合起来的阶段。
三阶段：已经完全掌握四则运算以及应用题的小朋友，很少出现计算错误，对于数学有较强兴趣，或日校学习轻松名列中等以上。注意，如果小朋友已经学奥数了，也不代表可以进三阶段。重点考察可以参考前文，或者我罗列出来的指标。
如果不确定到底哪个阶段，一般介于两个阶段之间，建议两个阶段都报。以低阶课程的家庭作业为主，高阶课程的家庭作业作为自测，我会告诉你做到什么样的程度的时候，可以转而以高阶为主，低阶为辅的。
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